【量子科普】不可複製與不可刪除定理

最近因為論文關鍵字搜尋和維基探險故稍微研究了「不可刪除定理」，然後發現Wiki居然第二句話就犯了深奧幽微的錯誤「認為不可刪除定理是不可複製定理的時間反演」，而這個錯誤是只要真的讀過論文且思考的人都能避免（原始論文本身就強調了這點…），所以我打算分享並紀錄這兩個量子計算的精妙定理，這些思路的數學技巧其實都不多，不過本文也會盡可能用精簡準確的方式說明，當然文章開始前先依照慣例：歡迎大家分享、轉發、留言、拍手讚賞（甚至捐款）XD

不可複製定理（No-cloning theorem）

先從比較有名的不可複製定理開始說明，這源自於一個很簡單但是寓意深遠的問題：量子物理是否允許複製未知的量子態$|\Psi\rangle$，也就是說給定某個白板量子態$|0\rangle$和量子印表機輔助$|C\rangle$（Copy machine），我們能否找到某個動作$U$讓

$$U|\Psi\rangle |0\rangle |C\rangle =|\Psi\rangle |\Psi\rangle |C\rangle$$

答案很簡單就是不行．而這個不行本身保護了量子力學和量子通訊、卻也增加了量子電腦建造的難度：假設我們能夠對於未知的量子態大量複製，便可以透過不斷的測量獲得未知量子態的所有資訊（包含動量、位置等），這種最終可以繞過「不確定性原理」的行為基本上會直接拉倒整套量子力學，同時量子通訊（如BB84/E92）物理定律保障的安全性將不復存在；另一方面，沒有辦法複製未知量子態讓量子計算的糾錯(quantum error correction)變得非常困難，我們沒有辦法直接創造備份冗餘來避免環境干擾或是操作誤差（量子糾錯後來是用巧妙的辦法創造冗餘，所以理論上量子計算可以說是實驗物理的挑戰了）．用更宏觀的視野來說，量子力學裡面的所有演化都是Unitary 矩陣，機率幅守恆說明資訊不能無中生有、也不能無緣無故消失（請參考量子黑洞資訊悖論），故不可複製定理是具有深刻物理意義的簡短數學證明．

$$\langle C|\langle 0|\langle \Phi|U^{\dagger} U|\Psi\rangle |0\rangle |C\rangle = \langle C|\langle \Phi|\langle \Phi|\Psi\rangle |\Psi\rangle |C\rangle$$ $$\Rightarrow \langle \Phi|\Psi\rangle = |\langle \Phi|\Psi\rangle |^{2}$$

以上兩行「不可複製定理」計算指出複製的內在矛盾，因為這台可以任意複製的印表機居然只能夠複製兩個相同或是正交（也就是完全不相同）的量子態，結論和前提矛盾．

不可刪除定理（No-deleting theorem）

$$U|\Psi\rangle |\Psi\rangle |C\rangle =|\Psi\rangle |0\rangle |C\rangle$$

量子不可刪除定理絕對不是單純不可複製定理的時間反演（上圖），Nature 再怎麼容易被炫砲的名詞迷惑也不會就放這種論文出刊．不可刪除定理是假設刪除的過程能把某些資訊排到輔助量子態（這邊就用垃圾桶Bin），是否就可以因此刪除不同的未知量子態，讓其還原成為白板量子態$|0\rangle$

$$U|H\rangle |H\rangle |B\rangle =|H\rangle |0\rangle |B_{H}\rangle$$ $$U|V\rangle |V\rangle |B\rangle =|V\rangle |0\rangle |B_{V}\rangle$$

乍看之下這個思路好像有希望，因為資訊並沒有消失而是藏到輔助量子態裡面，所以量子不可複製定理被反駁的理由和Unitary 矩陣特性在此都派不上用場．如果我們確實能夠刪除（格式化）未知量子態，那對於量子計算也是很有幫助，在懷疑某個未知量子位元出錯的情況就可以將它還原成白板狀態．當然這個結論比較幽微，嘗試刪除，其實只得到 SWAP． 先讓我們假設某兩個一樣的量子疊加態$|\Psi\rangle =\alpha|H\rangle +\beta|V\rangle$，然後我們把這個量子態丟到刪除機器裡面看會發生什麼事情．

$$U|\Psi\rangle |\Psi\rangle |B\rangle =U(\alpha|H\rangle +\beta|V\rangle )(\alpha|H\rangle +\beta|V\rangle )|B\rangle$$

相等的左式右式分別演化

$$|\Psi\rangle |0\rangle |B_{\Psi}\rangle =\alpha^{2}|H\rangle |0\rangle |B_{H}\rangle +\beta^{2}|V\rangle |0\rangle |B_{V}\rangle +\alpha\beta|\Phi\rangle$$

這邊我們定義$U(|H\rangle |V\rangle +|V\rangle |H\rangle )|B\rangle =|\Phi\rangle$．然後注意到$|\Phi\rangle$和疊加態係數$\alpha\beta$無關．所以比較等式之後我們就會得到

$$|\Phi\rangle =|H\rangle |0\rangle |B_{V}\rangle +|V\rangle |0\rangle |B_{H}\rangle$$

和最重要的關係式（注意以下量子態$|B_{H}\rangle$和$|B_{V}\rangle$因為機率守恆必須正交） $|B_{\Psi}\rangle =\alpha|B_{H}\rangle +\beta|B_{V}\rangle$ 總而言之，我們認為所謂的刪除其實不是刪除，疊加態的資訊只是被SWAP到垃圾桶裡面，所以想用刪除來處理未知量子資訊，其實最後就只是把他SWAP到其他地方而已的trivial solution （笑，不可刪除定理的證明核心是量子力學的linearity（線性特質），透過處理疊加態之後就會獲得結果，絕非不可複製定理的時間反演，相信大家可以知道Wiki 是錯在哪裡了LOL